Lattice point counts for the Shi arrangement and other affinographic hyperplane arrangements

David Forgea, and Thomas Zaslavsky
Journal of Combinatorial Theory, Series A
Volume 114, Issue 1 , January 2007, Pages 97-109
http://dx.doi.org/10.1016/j.jcta.2006.03.006

n次元空間内の超平面アレンジメントの補空間の整数格子点を数える．
特に整数mに対して[1,m]^n中にあるそのような格子点の数をmの関数として書く．
この論文では，対象とする超平面アレンジメントとして各超平面がxi = xj + cという形をしたものを考える．
このような超平面アレンジメントをaffinographicと呼び，特にShiアレンジメントとはxi = xj, xi = xj + 1という形を超平面をすべて集めてきたアレンジメントである．
定理として，affinographicアレンジメントに対して上記の関数が区分的多項式関数であることを示している．
方針は問題をグラフの問題に変換して，彩色やそのグラフ上のマトロイドから得られる束のメビウス変換などを道具として用いる．