Log-concavity and LC-positivity

Yi Wang, and Yeong-Nan Yeh
Journal of Combinatorial Theory, Series A
Volume 114, Issue 2 , February 2007, Pages 195-210
http://dx.doi.org/10.1016/j.jcta.2006.02.001

数え上げ組合せ論の論文．
非負数列の単調性や単峰性を示すことは重要であるが，そのために使える条件がいろいろとある．

数列 $\{x_k\}$ がlog-concaveであるとは，すべての $i>0$ に対して $x_{i-1}x_{i+1}\le x_i^2$ が成り立つことである．(つまり， $\log x_k$ が凹になることである．)

一方， $\{a(n,k)\}_{0\le k\le n}$ という形の数列を三角形と呼ぶことにする．
(パスカルの三角形を思い起こしてもらえばよい．)
ここでlog-concaveな数列 $\{x_k\}$ に対して， $z_n = \sum_{k=0}^{n}a(n,k)x_k$ で定義される数列 $\{z_n\}$ もlog-concaveになるならば三角形 $\{a(n,k)\}_{0\le k\le n}$ をPLCと呼ぶことにする．
また，log-concaveな2つの数列 $\{x_k\}$ と $\{y_k\}$ に対して
$z_n=\sum_{k=0}^{n}a(n,k)x_k y_{n-k}$ もlog-concaveになるならば，三角形 $\{a(n,k)\}_{0\le k\le n}$ をdouble-PLCと呼ぶことにする．

では，いわゆる「q-analogue」を考えることにする．
qを変数とする1変数多項式の列 $\{ f_n(q) \}$ がq-log-concaveであるとは，任意の $n\ge 1$ に対して $f_n^2(q)-f_{n-1}(q)f_{n+1}(q)$ の係数が非負となることである．
また，三角形 $\{a(n,k)\}_{0\le k\le n}$ から多項式 $A_r(n:q)=\sum_{k=r}^{n}a(n,k)q^k$ を作ったとき，この三角形がLC-positiveであるとは，任意の $r\ge 0$ に対してnに関する多項式の列 $\{A_r(n;q)\}_{n\ge r}$ がq-log-concaveになることであり，また，double LC-positiveであるとは，三角形 $\{a(n,n-k)\}_{0\le k\le n}$ もLC-positiveとなることである．

定理として，LC-positiveな三角形がPLCであることと，double LC-positiveな三角形がdouble PLCであることが示されている．
その定理の応用として，Ligett (1997) の定理の別証明を与えている．
著者の考えによれば，新しい証明の方が見通しがよいようである．